I. O básico - I.3. Análise
Na Análise matemática (ou Cálculo) as funções desempenham o papel central. Os dois principais ramos da Análise são o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral.
Funções: Basicamente as funções são uma forma algébrica de descrever relações entre “objetos”
crd1. Domínio de funções (I);
crd2. Domínio de funções (II);
crd3. Zeros de funções;
C1. Estudo completo de uma função afim genérica {soluções};
2. Estudo de funções afins (constante, linear e afim propriamente dita){soluções};
3. Problemas envolvendo funções afins {soluções};
4. Funções modulares: domínio, contradomínio, zeros, … gráficos {soluções};
5. Equações e inequações modulares. Desdobrar por ramos {soluções};
crd4. Gráficos de funções em referenciais cartesianos. Simetrias;
crd5. Simetrias;
6. Determinação das expressões analíticas das funções quadráticas a partir dos gráficos {soluções};
C2. Estudo completo de uma função quadrática genérica {soluções};
7. Funções quadráticas: domínio, contradomínio, zeros, vértice, eixo de simetria, … gráficos {soluções};
8. Funções racionais: domínio, contradomínio, zeros, simetria, sinal {soluções};
9. Funções irracionais: domínio, zeros, simetria, sinal {soluções};
10. Algumas funções especiais: função retângulo e função triângulo{soluções};
11. Mais funções especiais: função de Heaviside, função sinal e função rampa {soluções};
12. Funções de proporcionalidade direta {soluções};
13. Problemas de proporcionalidade direta {soluções};
C3. Operações com funções (adição, subtração, produto, quociente e composição) {soluções};
C4. Função inversa {soluções};
crd6. Função composta. Função inversa.
Transformação de funções: Nesta secção as funções vão originar outras funções, seja através das operações entre elas, seja através de transformações no plano
14. Decomposição de funções racionais em frações simples (fatores lineares não repetidos) {soluções};
15. Decomposição de funções racionais em frações simples (fatores lineares repetidos) {soluções};
16. Decomposição de funções racionais em frações simples (fatores quadráticos não repetidos) {soluções};
17. Decomposição de funções racionais em frações simples (fatores quadráticos repetidos) {soluções};
18. Propriedades de uma função obtidas do seu gráfico: domínio, contradomínio, zeros, sinal, … {soluções};
C5. Transformação de funções: translações verticais (I) {soluções};
19. Transformação de funções: translações verticais (II) {soluções};
C6. Transformação de funções: translações horizontais (I) {soluções};
C7. Transformação de funções: reflexões no eixo das abcissas (I) {soluções};
C8. Transformação de funções: reflexões no eixo das abcissas (II) {soluções};
21. Transformação de funções: reflexões no eixo das abcissas (III) {soluções};
C9. Transformação de funções: reflexões no eixo das ordenadas (I) {soluções};
22. Transformação de funções: reflexões no eixo das ordenadas (II) {soluções};
23. Transformação de funções: reflexões no eixo das ordenadas (III) {soluções};
24. Transformação de funções: contrações e dilatações horizontais {soluções};
25. Transformação de funções: valor absoluto de uma função {soluções};
26. Transformação de funções: função valor absoluto da variável {soluções}.
Limites: Faz-se uma primeira abordagem às indeterminações e às assíntotas, continuando o seu estudo na PARTE II – Funções.
crd7. Razão incremental;
crd8. Razão incremental (II). Limites (I);
crd9. Limites (II);
crd10. Limites (III);
crd11. Limites (IV);
crd12. Limites (V);
27. Noção intuitiva de limite: Limites a partir do gráfico da função {soluções};
28. Limites de funções polinomiais {soluções};
29. Limites de funções racionais (I) {soluções};
30. Limites de funções racionais (II) {soluções};
31. Limites de funções racionais (III) {soluções};
32. Limites de funções irracionais (I) {soluções};
33. Limites de funções irracionais (II) {soluções};
34. Limites de funções irracionais (III) {soluções}.
Continuidade. Teoremas: O conceito de continuidade (e o de limite que lhe está associado) é um dos mais importantes e interessantes da Análise Matemática
25. Continuidade a partir do gráfico da função {soluções};
26. Continuidade de funções dadas por ramos {soluções};
27. Tipos de descontinuidade {soluções};
28. Teorema do valor intermédio (Teorema de Bolzano-Cauchy) {soluções};
29. Corolário do teorema do valor intermédio {soluções};
crd13. Continuidade (I);
crd14. Continuidade (II);
crd15. Continuidade (III);
crd16. Continuidade (IV). Teorema e Corolário de Bolzano;
Derivadas: A noção de derivada nasceu com Fermat na sua pesquisa de extremos de funções. A partir daí tornou-se o centro de uma área fundamental da Análise: o Cálculo Diferencial. Abordaremos este conceito nesta secção, na Parte II – Funções e na Parte VIII (Cálculo Diferencial em Rn). Nesta secção fazem-se primeiras abordagens às indeterminações e às assíntotas, continuando o seu estudo na PARTE II – Funções. Alguns tópicos mais aprofundados aparecem nos parágrafos 33, 34, 37 e 38.
30.A. Derivadas num ponto pela definição (I) {soluções};
30.B. Derivadas num ponto pela definição (II) {soluções};
31.A. Função derivada pela definição (I) {soluções};
31.B. Função derivada pela definição (II) {soluções};
32.A. Regras de derivação (I) {soluções};
32.B. Regras de derivação (II) {soluções};
33. Cálculo de derivadas usando a regra da cadeia: dy/dx = dy/du . du/dx {soluções};
34. Derivação de equações : introdução à derivação implícita {soluções};
35. Derivada da função inversa {soluções};
36.A. Tangentes e normais aos gráficos das funções num ponto (I);
36.B. Tangentes e normais aos gráficos das funções num ponto (II) {soluções};
37. Diferenciais. Linearização de uma função; {soluções};
38. Valores aproximados de funções {soluções};
39. Diferenciabilidade e continuidade {soluções};
40. Representação do gráfico da função derivada a partir do gráfico da função original {soluções};
41.A. Pontos críticos do gráfico. Extremos (I) {soluções};
41.B. Pontos críticos do gráfico. Extremos (II) {soluções};
42. Teorema de Rolle {soluções};
43.A. Teorema do valor médio (ou de Lagrange) (I) {soluções};
43.B. Teorema do valor médio (ou de Lagrange) (II) {soluções};
44.A. Monotonia e sentido das concavidades: relação entre f, f´e f´´ (I) {soluções};
44.B. Monotonia e sentido das concavidades: relação entre f, f´e f´´ (II) {soluções}.
